夫が転職しました。お給料、住民税。

８月いっぱいで前の会社を辞め、９月(正式には３日。１、２日と会社がお休みだった)からいまの会社に入社しました。
両方とも社会保険、厚生年金です。お給料も末〆、翌25日支給です。

８月は前の会社にいたので、今月25日にお給料が入りました。
そして、新しい会社からもお給料が入りました。
私的には「８月にいまの会社で働いてないのになぜ？？」という感じなんですが、もらえるものなんですか？
明細もいただきみたら、８月は保険年金は前の会社で支払いしていたので引かれず、中途採用は翌年度まで住民税も普通徴収になるそうなので引かれていませんでした。所得税と雇用保険のみ引かれてました。

また住民税の普通徴収というのがはじめてなのですが、これは勝手に振込用紙かなにか送られてくるんですか？
少しだけググったのですが、年４回にわけられて納付するようなのですが、うちは９月～翌３月(６ヶ月)までが普通徴収になるんですが、先に２期分支払って後で戻ってくる？もしくは、１期分＋２ヶ月分ぴったりで払うんですか？

また確定申告とか必要ですか？
年末調整でしてもらえるのかな？？

自分なりに調べてはいるんですが、いまいち分からず…詳しい方がいたら教えていただきたいですm(__)m