同僚に「私がやるよ？」って言われたらその人にじゃあよろしく、って丸投げするの？
みんなお茶出しではない本来の業務を抱えてるんだから、共通の雑務については「手伝おうか？」が正解だと思うよ。
雑務専任の小間使さんがいるならその人が、私がやりますと言うのはで正解。

でもって、相手の本来の業務を手伝う申し出であれば、「何かお手伝いできることありますか？」って聞き方になるよね？

家で旦那に言われても腹立ったことないなー。聞かれたら、
じゃあ代わりに○○やっといてー、って別の家事をお願いすればいい。