とりあえず、役所に行けば色々教えてくれますよ。
次の会社は、ほぼってだけで決まってはいないんだよね？
だったら、国保切り替えの手続きをした方がいい。

その時に、社会保険未加入の期間があれば、国保の保険料を請求されます。

気を付けなきゃならないのは、ちゃんと理解していないと、社会保険と国保と、二重に保険料を払ってしまうことがあります←結構多いらしいです。

私も、社会保険→国保→数ヶ月後に市外に引っ越し→引っ越し先の国保→同月内に扶養…で、ややこしかったです。