一歳の子との外出が苦痛

娘が今一歳二ヶ月なんですが、とにかく落ち着きが無いのと癇癪で手を焼いています。
一歳前から歩き始め今では小走りができるくらいになり、とにかく歩き回るのが楽しいようで外に行くと楽しそうに歩き回ってます。
手を繋ごうとするとしゃがみ込んで嫌がるので、近所の公園までヒップシートに乗せて行き歩かせてます。
元々ベビーカー拒否で、スーパーのカートに乗せても5分くらいでグズり出すので、ずっと抱っこ紐を使って買い物に行ってましたが、一歳前くらいから抱っこ紐も抜け出そうとするようになり今はネットスーパーで買い物してます。
その頃くらいにヒップシートを購入したのですが、抱っこ紐よりは自由がきくので娘もあまり嫌がらずにいてくれてました。
ですが、最近はヒップシートさえも5分程で降りたがるようになってきたので、近所の5分以内の公園くらいしか行く事が出来ません。
最近暑くなってきて、これから更に猛暑になってくると毎日公園で過ごすのも辛いなぁ…と思っています。
娘は帽子も嫌がって被らないので熱中症も心配です。
支援センターや子育て広場にも何度か行ったのですが、ああいう場所に行くと他の子を触りに行ったりおもちゃを奪いに行ったりとにかく落ち着きが無く、しかも私がそれを止めようとすると癇癪を起こして大泣きし…そんな感じでかなり神経をすり減らすので行くのをやめてしまいました。
かなり長くなってしまいましたが、このような状況でとにかく娘との外出が苦痛ですし、毎日娘を連れてどこに行けばいいのか…と途方に暮れています。
同じようなお子さんをお持ちの方がいらっしゃれば、経験談など聞かせて頂けると嬉しいです。

ちなみに多動も疑って保健センターで何度か相談もしましたが、やはり今の月齢では判断出来ないのと、これくらいの月齢だとそれは普通ですという返答でした。