施設の子どもを養子に迎えること

施設の子どもを養子に迎えることってできますか？
ちょっと話が長くなります。

小学5年の息子が、バスに乗っていて降りる前になって「お金がない」って泣いてる子6歳くらいの子がいたそうです。降りるバス停が一緒だったから、その子の分まで息子がお金払いました。(たいした金額ではないです。)
お金はどこかに落としたらしい。
その子が近くの児童養護施設の子で、それ以来息子になついています。

小学校が同じなので、息子を見つけるとハグしに来るそうです(笑)
「何かを買って」とねだる子でもないし、とにかくうちの息子が大好きで側にいたいらしく。

まぁ、簡単な話じゃないけど、その子が望むならうちの子になる方法はないかと考えているところです。
どうなんですかね？現実的にできるんですかね？