保育園での怪我について

五才の娘が同じクラスの女の子とおもちゃの取り合いをして、肘を脱臼しました。
直ぐに近くにある接骨院に先生が連れて行ってくれて、整復してもらい湿布を貼ってもらい帰って来ました。
次の日も経過を見せに来るようなとの事で、園長が連れて行ってくれることになりました。
そこで、保険証と子供医療費の受給者証を持って来るようにと言われたのですが、疑問があります。
第三者による怪我は健康保険証は使えませんよね？若しくは届け出書が必要だったかと思います。
それと、そこの接骨院は在園児のお父さんが院長の所です。
なんか、園の都合いいようにされてるような気がするのですが、こんな対応って普通なんでしょうか？
園長は「園の責任です」と言っていたのに、自分の保険証を使うのっておかしくないですか？
皆さんの意見や実例を教えて下さい。