公務員倫理に反する信用失墜行為って、どこまでがアウト？

知り合いで、公務員として働いている、20代の若い方がいるのですが、その方の言動があまりにも自己中心的で、周囲に対して、失礼な発言や挑発的な態度を繰り返しています。
公務員には「信用失墜行為の禁止」や「品位の保持」が義務づけられていると聞きますが、
勤務時間外の言動や、ネットでの書き込みなども処分対象になり得るのでしょうか？
「私人としての発言」として見逃されるのか、それとも、公務員としての自覚がないと見なされるのか。周囲でも静かに不信感が高まる場合、やはりどこかに相談されるケースもあるのでしょうか？

自治体や所属省庁への相談って、実際どのように扱われるものなんでしょうか。