千葉にお住まいのＡさんからの質問

回答→ 『できません』
通知カード・マイナンバーカード共にお名前の記載は住民票を基に作成されますので、住民票に通称名を記載されている場合、本名と通称名が併記されます。

補足
特別永住者などで住民票上に「通称名」（通名＝偽名）を持つ方の場合、マイナンバーカードには、現行の健康保険証などのように「通称名」（通名＝偽名）のみを記載することはできず、本名と通称名が併記されます。