> 自分が休みの日は子供を預けるなと言われているような気持ちになってしまってます。

え、そう言われてるんだよ。
保育園は、保育が必要とされる子供を預かる場所。
保育が必要な場合＝仕事や用事などで保護者が保育できない場合
なので、理由なく預かってはくれない。

親が仕事休みなら預かりません、が基本。
だから仕事何時から何時までか、休みはいつか提出するでしょ。
通院は理由として認められるからOKだけど、理由を言うのは当たり前。