乾いた咳、咳喘息、溶連菌について教えてー

先週、高校生の子供が熱を出し38.6度で1日で下がりそこから乾いた咳をしています。

風邪薬を飲ませて、熱がでてから1週間になりますが咳が続いているが聞くと痛くはないと。

そして先週の、土曜日からわたしも咳がでます。
熱なし喉は痛くない、乾いた咳。
咳き込むと会話困難、ぜぇぜぇと喉がなります。

アレルギーを持っているためアレルギーからの咳かと、かかりつけの消化器内科へ。
喉はピンクで腫れていないと風邪薬ではなく抗生物質を、早く治るためと2種類処方されました。

この先生は2種類だすと処方箋薬局の方が言ってたので、ひとまず納得して帰りました。

が、咳は特に治まらず抗生物質でいいの？と思い検索をかけると、溶連菌や咳喘息とでましたが、溶連菌って風邪？子供もそうなのかしら？

抗生物質で咳は治らないような.......5日間飲めば効くのか、同じような症状になった方いらっしゃいますか？