調停をするなら、公正証書は必要ないですよ。
調停で婚姻費用を請求すればいいのですから。
公正証書はお金かかるけど、調停なら費用もほとんどかからないうえ、公正証書より調停調書の方が、法的効力が上だし、強制執行する際も、公正証書よりスムーズに出来ますよ。