正社員だと思ってたのに正社員ではなかった

16歳から1年バイトで17の時に社長から正社員にしてやる。と言われ給料も上がってたので正社員になったんだと思ってました。
結局1年で辞めたのですが、最近違う所に就職しました。
そこで雇用保険被保険者証を持ってくるように言われたのですが、持っていなかったのでハローワークに再発行しに行きました。
しかし登録されておらず、そこで初めて正社員ではなかったんだ。と気付きました。
初めての仕事でしたし、正社員になるのに手続きとかいらないんだ～と思っていました。
就職した会社に履歴書は入社と書いてしまいました…
雇用保険被保険者証はそこの会社で新しく作ってもらえるんでしょうか？