救急指定病院なのに救急でみてもらえなかった（長文）

おとつい私にかなりの腹痛と嘔吐があり、叫ぶほどひどかったので、診療時間外なのは分かっていたのですが、いつも行っている総合病院に今から診察してもらえないかと電話しました。今までなら時間外でもみてもらえてたのに今回は、4ヵ月以内にうちの病院に診察にきてるならみるけど4ヵ月以上きてないのなら診察はしない、とか今は医師がいないから無理、などと言われ断られました。（私は4ヵ月以内に診察には行ってませんでした）その時は吐きながら電話してたので即切りましたが、今冷静になって考えてみたら、総合病院で医師がいないっておかしいし、救急指定病院で町のﾊﾟﾝﾌﾚｯﾄにも急患はここの病院へ、みたいに書かれているし、医師がいないはずなのに4ヵ月以内に診察行ってたらみてくれる、っておかしいですよね？
今回は私だったからよかったんですが、これが子供だったらどうしようか、今後悩んでるところです。うちの近くの小児科ありの総合病院はここしかないので、夜中とか連れていかなきゃならない場面にでくわしたら遠い総合病院まで行かなきゃいけないんだと思うと、不安です。
救急指定病院でもこんな事ってアリなんですかね？それとも文句？っていうかどこかに言うべきですか？
長文、乱文ですみません。読んで下さりありがとうございました。