社会保険労務士です。
といっても主さんにはわからないかもしれないけど。笑

休みたい時に自由に取れる権利、それが有休。でも、その日に取られると困るから他の日にしてねって言う権利が会社にはある。
ポイントは、取るなではなく他の日に替えてねって言えるまでの権利であること、行使できるのはその日にその人に休まれると会社が潰れてしまうくらいの日でないといけないこと。
よって、単に忙しいからだけでは有休取るなとは言えない。

ただ、結局会社って人と人だから、普段から有休取りやすい雰囲気作りやチームワークがしっかりできてれば、その人もわざわざ忙しい時期に取ろうとしなかったんじゃないかと思う。
主さんみたいな考えの人がいる職場だから、そういう人がでてきちゃうんだよ。

まずは自分の考え方を変えて、旅行だったの？いいなーどうだった？って明るく楽しく聞いてあげたら？
その人も変わってくるよ。