犬のこと怖かったり大嫌いな人もいるのです。
みんながみんな好きなわけでは無いのです。
飼い主の方々は、こんなにカワイイのにって言いますが、普段から関わりのない人が連れている、どんな行動するかわからない、噛まれるかもしれない生き物、私は大人ですが、怖いですよ。

そのお子さんは、あなたの犬が近づいた結果、逃げ出してケガをしたとのこと。
謝罪の気持ちが無いのが伝わってしまったから、相手の方が、めちゃくちゃ怒ってしまわれたのでは？　
あなたの文面から私が感じたことですが。
めちゃくちゃ怒られた、ただ近づいただけ、触れてさえいない、という文面しか、私はわからないので。

伸縮リードで散歩って、、他人に迷惑をかけているようではダメでしょ。周りに人がいないような散歩道ならともかく。

治療費を請求されたら、弁護士に相談してみるしかないのでは？