そもそも内科の殆どは原因を決定的に探し出してから治療する訳じゃないし、根本的な原因を突き止めてから治療してたら間に合わないよ。
医者がおおよその当たりをつけて先ずは治療してみるのが一般的。
咳も色々有るだろうけど、今は喘息の検査もコロナで危険行為とみなされて中断してるしね。
そうなると何らかのウイルスやアレルギーで炎症を起こしてると考えたんじゃない？
もし血液検査で炎症反応が出てるのに抗生剤を飲ませないなら一般的じゃないよ。

血液検査してなくて抗生剤に抵抗感があるなら、その手の小児科で咳に対する手当の仕方を習って親の貴女が昼夜施すしかないね。