かかりつけの病院にしか行ってないのに大丈夫だと断言できちゃうのが凄い。
何れにせよ咳が続いている(しかも学校でのみ出る)状態なんだから、単なる気候や気圧問題じゃないと思うよ。
精神的なものなのか、物理的に学校の何か(空調や科学物質など)に反応してるのかは判らないけど、何れにせよその原因は学校にありそうだから、何かしら検査なりはした方が良いんじゃないの？咳が続くのって本当に辛いよ。