個人店、源泉徴収がない。自分で何か手続き必要？

先月から個人店でパートを始めました。
給料明細はありますが、源泉徴収って出ますか？と聞いたら出してないと言われました。
給料は毎月8万弱の予定です。
小さなお店で従業員は店長以外にパート3人です。雇ってる3人とも88,000円以下の給料で扶養範囲内なので、お店で保険や所得税のことをやる必要はないので年末調整も源泉徴収もないとの説明でした。

独身の時は給料から所得税、住民税、健康保険、雇用保険、厚生年金が引かれてたと思います。今回のパートで、先月分の給料から何も引かれていなかったので聞いたら、上記のような説明でした。
結婚してからはずっと専業主婦で旦那の扶養に入っていて、年に1回市役所から手紙がきて、収入がないことを書いて出してます。

これからパートの収入がありますが、市役所に何か私個人で手続きとか必要ですか？

まとまりない長文ですみません。
無知で申し訳ありませんが、わかる方いましたら教えてください。