間違ってたらごめんね。
在学証明書は学校から直接受け取りで、案外すぐに書いてもらえる。

引っ越し先の住所が未定であっても、なんとなくの場所が決まっているなら引っ越し先の役所に連絡して相談。役所の人が教育委員の人と連携してくれるのでどの地域ならどの小学校に行くことになると言うのを教えてくれる。
新住所がわかったら役所、転入先の学校に連絡。

どっちにしても転出届けを出してからでないと転入届けも受理されないので、まずは今住んでいる地区で転出届けを出す。
転入届けは引っ越しが終わってからの提出で大丈夫だったので、転出届けをした翌々日でも大丈夫だったよ。そして転入届けが受理されてから在学証明書の提出になる。

引っ越し先と引っ越し日が決まってしまえば、あとは案外スムーズにいくと思うよ。12日までに間に合わせたいのなら１日でも早く引っ越し先を決めて在学中の学校と役所(現住所の方と引っ越し先の両方)に連絡。