

社会保険→国民保険→社会保険

新しい会社に、何日付けで保険加入になるかを旦那さんに聞いてもらった方が良いと思いますよ。事前が難しいなら初出勤の時にでも。
転職の場合の乳幼児医療費受給者証は経験がないのですが、会社が変われば健康保険証の記号番号が変更になるので、届け出は必要だと思います（うちの市の受給者証の裏面には14日以内に届け出を出すように記載があります）。こちらも予め役所に電話して問い合わせておけばスムーズにいくと思います。