新宿に詳しい人教えてください

転勤で東京に来たばかりです。
明日、私一人で年長の子どもを連れて新宿三丁目から西新宿方面までお昼を挟んで移動します。午前に新宿三丁目で用事があり、午後はワシントンホテルの近くです。
Googleで見ると甲州街道を真っ直ぐ行くのが一番わかりやすいです。徒歩で10分ちょっとみたいですが、炎天下で子連れなので、出来れば地下道を行きたいのですが、迷わず行けるでしょうか？
また移動中にお昼食べるところはありますか？

百貨店やルミネもあるし、飲食店は通り道でもたくさんありそうなんですが、旦那から「どこも昼は行列だから、１時間待ちとか当たり前。子連れだと探すのが大変かも。」と言われました。