のし袋(蝶結び)を用意
表書きは御礼、苗字を筆書き
必ず新札
細かいお札はNG(例えば15000円の場合、一万円札＋五千円札で。千円札5枚はNG)

初めてピアニスト先生のプライベートレッスンを受ける際、普段の先生から上記のようにするよう言われました。
以来ずっとこれで通してます。
門下も皆さん同じようにされています。

渡すタイミングですが、受付や仲介がある場合は初めに、ない場合はレッスン終了時に直接お渡ししています。

普段の先生から特に指示がない場合は、それ程堅苦しく考えなくても良いかもしれませんね。
形式も色々なので、聞ける雰囲気であれば、普段の先生に聞いてみると安心かと思います。

ご参考までに。