施設に入れば住民票も動くはず。世帯分離されれば特養のような施設ならそこまでお金は高くないと思う。医療用の施設だと住民票は動かさないだろうからアメニティが高いところとかだと大変かも。
義姉さんが親を利用した面はあるかもしれないけど、近くに住んでくれている安心感もあるから手伝ってもらっていたどうこうは置いておいて、義父が足りない費用は兄弟で折半。場合によっては遠方に済む兄弟がお金は用意して、どうしても必要になる身の回りのことは義姉さんじゃない？

旦那さんが義父さんのところに行くことは本人がやりたいことだし、それをやらないと後悔が先々あるかもしれないから本人の意思に任せるしかないと思う。