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昔、ヤフーのニュースに子供が一人で過ごしている場合のアドバイスがあったのですが、見つけられず
A「一人でいるのが好きな子でクラスの活動には参加できる」
B「一人でいるのが好き、クラス活動は消極的」
C「一人でいるが、本当は誰かと遊びたいけど、誘うの躊躇してしまう」
D「一人でいるが誰かと遊びたいけど、誘っても断られてしまう」
４つのケースについて解説されていたのですが、主さんのお子さんの場合はCのケースかな？
どう誘えばいいか、アドバイスが書かれていたのですが、肝心の記事を見つける事ができませんでした。
一人でいる事について、問題ない（大人から働きかけなくてもいい）のはAの場合で、仲間と協力すべき時は協力できるなら、無理に大人が働きかけなくてもOK
誘っても断られてしまうのは、誘い方が下手とかしつこいとか、誘い方に問題がある、という事みたいです。

昔読んだ記事ではなかったのですが、アドバイスがあったので、参考にどうぞ
https://1-syuhu.com/kids-alone