幼稚園に勤めてましたが、緊急連絡先というのは確実に連絡が取れる場所を書くんです。両親が仕事で携帯に出られないなら職場とか、祖父母や親戚宅とか。
命に関わるくらい本当に緊急時に辛い思いするのはあなたとお子さんですよ。
病院の対処が正しいか間違ってるかは専門じゃないからわからないけど。