大人と子どもで違いがあるのでアドバイスになるか分かりませんが、似たような経験があるので参考にしてください。私も原因不明の咳が1ヶ月以上続き、一度大きな病院で診察を受けましたが全く治りませんでした。そこで、近所の掛かり付けの内科で診察を受けました。レントゲン撮影と血液検査をし、レントゲンは異常無かったのですが、血液のある数値が悪く「マイコプラズマ肺炎」の疑いがあると言われました。ある数値については何かは覚えていませんが、抗生物質等の薬を処方していただき1週間程度で症状が治まりました。まずは掛かり付けのお医者さんに診てもらうのが良いかと思います。もしそこで対応しきれない場合は大病院へ紹介状を書いてくれます。いきなり大病院へ行っても待ち時間が長いのでおすすめできません。