再婚のことは今は置いといて、まず殴られたなら診断書でも貰っておいたら？後々役に立つかもしれないし。
保育所も順番待ちの可能性あるけど地域で違ってくるから市役所に行って保育所の話を聞いてみたらどうかな。

あと実家にも頼れそうにないなら母子シェルターて選択肢はどうかな？
これもすぐ入居できないし、誰でも入れる訳じゃないから調べて問い合わせてみたらいいと思うよ。