ヤクルトは下痢にもいいですけど、冷蔵庫から出したての冷たいのを飲ませないように気をつけたほうがいいですよ。
冷たいままだとそのせいで下痢しちゃいます。

あと、１本だと１歳の子には多すぎるかな？
甘いのに慣れても困るので、食後３０分くらいに三分の一～半分くらいを飲ませてあげれば言いと思います。
甘さが心配なら薄めてあげてください。

ちなみにヤクルトの整腸薬も市販されてますので、粉薬が飲めるならそっちでもいいですよね。