っかさ、学校で加入してる保険って学校関連以外でのことでも使えるの？自転車通学してたってこと？
聞いたことないんだけど、

他で使える保険なら
自転車保険（個人賠償責任保険を自転車限定にしたもの）
個人賠償責任保険（他人に被害を与えたものに対して補償するもの）
個人賠償責任保険は車や火災保険に付いてる場合もある。
もし、そこに弁護士特約が付いてれば示談交渉もやってくれるよ。

あと、保険屋同士やりとりするときは、示談金を支払うにあたって、請求する金額を示談後に上乗せしない旨の成約書を書くよ。
それで良ければ示談成立。

主だけの話を聞くと相手にも少し？だけど、主の理解が足りない気もする。あとその学校の保険の担当が言ってることもちょっと変だよ。

保険使いたくないからって、実費で払うって車側ならともかく、主側にはデメリットしかないよ。
突然の事でパニックになってるのかもしれないけど、もう少し視野を広く持って冷静に考えた方がいいよ。