手足口病かもしれませんね。手の平、足の裏だけとは限りません。膝やオシリにも湿疹が出る事があります。
食事は無理でも、水分補給はしてあげてください。1週間前後で良くなりますが、菌は腸内に1ヶ月程残るので、その間プール等は控えた方がいいかと思います。(感染を防ぐ為。)